Еще не мешает проверить состояние клемм и проводов АКБ, проверить зарядку генератора.

Снятие клеммы не показатель! Надо мереть тестером! И надо бы проверить АКБ

Какое напряжение идет с генератора на АКБ, кстати, снимая клемму с АКБ во время работы двигателя, рискуешь убить систему управления двигателем и зажиганием

когда заглохнет лампочки на панели горят?

Что такое "датчик приборов? Впервые слышу такую формулировку. И как датчик вообще может тускнеть?
На исправной машине с выключенными световыми приборами и закрытыми дверями на панели ВООБЩЕ ничего не горит и не тускнеет, кроме бортового компьютера (и то только на оптитронных приборках).

doktor2, а по темам пошастать слабо? СТАРТЕР, втулка стартера!!!, Греются клеммы !!.
Начни хотя бы с этого. А вообще там 7 страниц про электрику, кури Форум. Причин такого поведения может быть много и практически все обсуждали.

Ладно, попытка №2.
Доктор, "датчик приборов" - это бред какой-то. Есть термин "щиток приборов", "панель приборов", "приборка" наконец, но датчик - это вот такое:
Пример:

У тебя это светится и тускнеет? Думаю, что нет.
Те шкалы, к которым приделаны стрелки - это указатели, индикаторы, приборы, манометры, вольтметры и чёрт его знает, что ещё, но тоже не датчики.
Так, ликбез заканчиваю.

Теперь по теме.
По описанным симптомам, получается, что АКБ пришёл "пушистый зверёк с ценным мехом". Почему? Вопрос открытый и телепатически не решаемый. Смотреть надо напряжение зарядки при запущенном моторе (здесь уже советовали), мерять ток утечки при выключенном зажигании, а дальше по ситуации. Контактная группа замка, стартёр здесь ни при чём.
Как всё могло быть: поставил новую АКБ, завёл, по какой-то причине батарея не начала получать заряд (регулятор напряжения "озяб" или что ещё - не знаю), на щитке приборов, при этом, не загорелась аварийная лампа "заряда" или загорелась, да ты не обратил внимания или изначально не горела ещё до запуска (что, кстати, говорит об отсутствии напряжения возбуждения на генераторе и, как следствие, тока заряда на АКБ после запуска) и ты тоже не заметил. Или заметил. да забыл здесь упомянуть. Далее машина тарабанила какое-то время на запасе заряда АКБ (опять же зима - включен вентилятор печки, габариты, может и фары, обогрев заднего стекла, мафон и .....) А дальше сюрприз моновпрыска от VAG (кстати, здесь на форуме ни у кого, в т.ч. и у меня, нет такой системы на машине. B2 - это вместилище карбюраторов и механических распределённых впрысков + "самопал"): в определённый момент напряжение на бензонасосе понизилось настолько, что давление топлива сильно упало и электроника выдала команду на глушение мотора. Либо на блоке управления двигателем напруга опустилась ниже пороговой величины и он отрубился. Т.к. именно в этот момент напряжение минимально, то наблюдается потускнение всего и вся, что светится в машине. Мотор остановился, зажигание наверняка было выключено и затем включено вновь для повторной попытки запуска. ЭДС в аккумуляторе хватило только на то, чтобы "возбудить" слаботочные цепи, а стартёру не хватило. Ждём 2 часа. АКБ - шняга хитрая, всё-таки химический источник тока. Она способна частично восполнять свой заряд. Этого заряда через 2 часа хватило, чтобы снова запустить машину. Дальше всё повторилось. Прошли сутки. Теперь АКБ умерла совсем: при появлении более-менее серьёзной нагрузки напряжение падает до недопустимых пяти вольт. ЭДС без нагрузки при этом может быть и 10 и даже 12 вольт. Ёмкости-то 0, запаса энергии нет.
Подытожим: прикуривай, заводись, отсоединяй донора и меряй напругу (если сразу не заглохнет): должно быть 13,5-14,2 вольта, хотя по началу может быть  и 13, т.к. АКБ сильно просела и много на себя возьмёт. Или ставь АКБ с "донора", заводись и меряй напругу. Если всё плохо, то смотри цепь возбуждения гены и регулятор напряжения. Пока так.
При выключенном моторе и зажигании проверь утечки: отсоедини плюсовую клемму и в разрыв между плюсом АКБ и клеммой подсоедини амперметр (тестер в этом режиме). Нормальный ток утечки от 10 mA до 120 mA в зависимости от количества потребителей (ну там часы, магнитола, СИГНАЛКА).
По снятию клеммы при работающем ДВС: чаще всего при этом страдает регулятор напряжения на гене.